Po vodorovné cestě jede stálou rychlostí cyklista, který překonává celkovou odporovou sílu velikosti 20 N. Jakou práci vykoná na dráze 5 km? Síla, kterou cyklista překonává odpor, působí proti směru pohybu, zatímco síla, kterou cyklista prostřednictvím kola působí ve směru pohybu, má při stálé rychlosti stejnou velikost 20 N.
Práci při konstantní síle ve směru posunutí vypočítáme podle vztahu \(W=Fs\). Po převedení dráhy \(5\,\mathrm{km}=5000\,\mathrm{m}\) dostaneme \(W=20\cdot5000\,\mathrm{J}=100\,000\,\mathrm{J}=100\,\mathrm{kJ}\).
Základní princip rovnoměrného pohybu
Podle velikosti rychlosti dělíme pohyby na: 1. rovnoměrné - pohyby, u nichž je velikost rychlosti konstantní. Hmotný bod urazí tedy v libovolných, ale stejných časových intervalech stejné úseky dráhy. 2. nerovnoměrné - pohyby, u nichž se velikost rychlosti s časem mění.
Při rovnoměrném přímočarém pohybu je výsledná síla působící na těleso rovna nule. To neznamená, že na cyklistu nepůsobí žádné síly, ale že se jejich účinky navzájem vyrovnávají.
Výsledná síla působící na cyklistu s kolem musí být při rovnoměrném přímočarém pohybu rovna nule: \[\vec{F}_\mathrm{g}+\vec{N}+\vec{F}_\mathrm{odp}+\vec{F}=0.\]
Tíhová síla, kterou na cyklistu s kolem působí Země, se vyruší se silou, kterou do kola tlačí silnice: \[F_\mathrm{g}-N=0.\] Síla, kterou do kola strká silnice, musí být rovna odporové síle: \[F=F_\mathrm{odp}.\]
Výpočet práce cyklisty
Práce je fyzikální veličina, která vyjadřuje účinek síly působící při posunutí tělesa. Síla, kterou cyklista působí ve směru pohybu, je při daném modelu konstantní a působí ve směru posunutí cyklisty, takže práci spočítáme podle vztahu: \[W=Fs.\]
V tomto vztahu znamená \(W\) práci, \(F\) sílu a \(s\) dráhu, kterou cyklista ujede. Jednotkou práce je joule, přičemž \(1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N\,m}\).
| Veličina | Hodnota |
|---|---|
| Odporová síla | \(F=20\,\mathrm{N}\) |
| Dráha | \(s=5\,\mathrm{km}=5000\,\mathrm{m}\) |
| Práce | \(W=?\) |
Dosadíme známé hodnoty do vztahu pro práci: \[W=Fs=20\,\mathrm{N}\cdot5000\,\mathrm{m}.\] Výsledkem je \[W=100\,000\,\mathrm{J}=100\,\mathrm{kJ}.\]
Cyklista tedy na dráze \(5\,\mathrm{km}\) vykoná práci \(100\,000\,\mathrm{J}\), tedy \(100\,\mathrm{kJ}\).
Proč se při stálé rychlosti síly vyrovnávají
Cyklista se pohybuje stálou rychlostí, takže se jeho rychlost nemění a jeho zrychlení je nulové. Podle druhého pohybového zákona platí \(F=ma\), kde \(F\) je výsledná síla, \(m\) hmotnost a \(a\) zrychlení.
Jestliže je \(a=0\), pak je výsledná síla rovna nule. Ve vodorovném směru proto hnací síla vyrovnává odporovou sílu. Ve svislém směru se tíhová síla vyrovnává se silou, kterou působí silnice na kolo.
Na cyklistu tedy současně působí například tíhová síla, síla silnice, odporová síla a hnací síla. Jejich vektorový součet je však při rovnoměrném přímočarém pohybu nulový.
Rozdíl mezi prací odporové síly a prací cyklisty
Odporová síla působí proti směru pohybu, a proto koná zápornou práci. Její velikost je \(20\,\mathrm{N}\), takže její práce na dráze \(5000\,\mathrm{m}\) má hodnotu \(-100\,000\,\mathrm{J}\).
Práce cyklisty, respektive práce hnací síly působící ve směru pohybu, má stejnou velikost \(100\,000\,\mathrm{J}\), ale opačné znaménko než práce odporové síly. V běžném zadání se otázkou „Jakou práci vykoná cyklista?“ myslí práce hnací síly, proto uvádíme kladný výsledek \(100\,\mathrm{kJ}\).
Souvislost práce, dráhy a výkonu
Výkon udává, jak rychle se práce vykonává. Pro okamžitý výkon platí: \[P=\frac{dW}{dt}=F\cdot\frac{ds}{dt}=Fv.\]
Pokud je síla i rychlost konstantní, lze použít také vztah \(P=W/t\). Protože při rovnoměrném pohybu platí \(s=vt\), dostaneme z rovnice \(W=Fs\) vztah \(P=Fv\).
Pro výpočet výkonu v této úloze však není uvedena rychlost cyklisty, takže lze určit práci, ale nikoli konkrétní hodnotu výkonu.
Rozdíl mezi stálou rychlostí a zrychlením
Okamžitá rychlost je vektorová fyzikální veličina, která má vždy směr tečny k dané trajektorii a je orientována ve směru změny uražené dráhy. Při pohybu hmotného bodu po křivce se vždy mění směr okamžité rychlosti, ale nemusí se měnit velikost rychlosti.
Velikost průměrné rychlosti je definována jako podíl celkové dráhy, kterou těleso urazí za celkový čas, a celkového času. Průměrnou rychlost nelze počítat jako průměr rychlostí.
Velikost okamžité rychlosti v daném bodě trajektorie je definována jako velikost průměrné rychlosti ve velmi malém časovém intervalu na velmi malém úseku trajektorie. Tachometr na jízdním kole měří velikost okamžité rychlosti pohybu cyklisty.
Rovnoměrný pohyb se liší od rozjezdu cyklisty, při němž se rychlost s časem mění. Cyklista stál a pak se začal rozjíždět po vodorovné silnici. Přitom vyvíjel na pedály sílu, která při právě zařazeném převodu odpovídala hnací síle na obvodu kola 40 N.
Je-li hmotnost cyklisty s kolem 50 kg, pak zrychlení vychází ze vztahu \(a=F/m=40/50=0{,}8\,\mathrm{m\,s^{-2}}\). Po deseti sekundách je rychlost \(v=a t=0{,}8\cdot10=8\,\mathrm{m\,s^{-1}}\).
Dráha při rozjezdu z klidu se však nepočítá vztahem \(s=vt\), protože rychlost není po celou dobu stejná. Platí \[s=\frac{1}{2}at^2.\] Pro \(a=0{,}8\,\mathrm{m\,s^{-2}}\) a \(t=10\,\mathrm{s}\) dostaneme dráhu \(s=40\,\mathrm{m}\).
Odporová síla a rychlost cyklisty
V některých úlohách je odporová síla zadána přímo, jako v příkladu s hodnotou \(20\,\mathrm{N}\). V jiných úlohách je vyjádřena pomocí rychlosti cyklisty vztahem \[F_\mathrm{odp}=kv^2.\]
Pro zjednodušení si představíme cyklistu s kolem jako jedno těleso. Síla, kterou do kola strká silnice, musí být rovna odporové síle: \[F=F_\mathrm{odp}=kv^2.\]
Je-li odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosti, při vyšší rychlosti se odpor zvětšuje. Menší bude i práce, kterou cyklista vykonal, i jeho výkon. Při větší rychlosti cyklisty se zvětší odporová síla a tím pádem i síla, kterou silnice strká do kola.
| Rychlost cyklisty | Odporová síla | Práce na 1200 m | Výkon |
|---|---|---|---|
| \(18\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) | \(7{,}5\,\mathrm{N}\) | \(9\,\mathrm{kJ}\) | \(37{,}5\,\mathrm{W}\) |
| \(27\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) | \(16{,}9\,\mathrm{N}\) | \(20{,}3\,\mathrm{kJ}\) | \(127\,\mathrm{W}\) |
| \(45\,\mathrm{km\,h^{-1}}\) | \(46{,}9\,\mathrm{N}\) | \(56{,}3\,\mathrm{kJ}\) | \(586\,\mathrm{W}\) |
Při konstantní rychlosti a odporové síle platí \(W=Fs\). Pokud se odporová síla mění podle vztahu \(F_\mathrm{odp}=kv^2\), lze práci vyjádřit jako \[W=kv^2s.\]
Výkon potom vychází ze vztahu \[P=Fv=kv^3.\] Z toho plyne, že při odporu úměrném druhé mocnině rychlosti roste potřebný výkon s třetí mocninou rychlosti.
Obecný postup řešení podobných úloh
Určete, zda jde o rovnoměrný pohyb, nebo o pohyb zrychlený. Stálá rychlost znamená nulové zrychlení a nulovou výslednou sílu.
Vyhledejte sílu, která působí ve směru pohybu. Při rovnoměrném pohybu po vodorovné silnici má stejnou velikost jako celková odporová síla.
Převeďte všechny veličiny do základních jednotek. Vzdálenost \(5\,\mathrm{km}\) je \(5000\,\mathrm{m}\).
Použijte vztah pro práci \(W=Fs\), pokud síla působí ve směru posunutí.
Výsledek uveďte v joulech, případně také v kilojoulech, protože \(1\,\mathrm{kJ}=1000\,\mathrm{J}\).
Výsledek úlohy
Odporová síla má velikost \(20\,\mathrm{N}\), dráha je \(5\,\mathrm{km}=5000\,\mathrm{m}\) a práce se vypočítá podle vztahu \(W=Fs\).
\[W=20\cdot5000\,\mathrm{J}=100\,000\,\mathrm{J}=100\,\mathrm{kJ}.\]
Cyklista vykoná na dráze \(5\,\mathrm{km}\) práci \(100\,\mathrm{kJ}\).
