Úlohy s auty a motocykly patří mezi slovní úlohy, ve kterých je potřeba rozlišit nejen počet vozidel, ale také počet jejich kol nebo pneumatik. Osobní automobil má čtyři kola, zatímco motocykl má dvě kola, a právě tento rozdíl je klíčem k řešení.
Pokud známe celkový počet vozidel a celkový počet kol, můžeme počet aut a motocyklů určit pomocí dvou rovnic o dvou neznámých nebo pomocí jednoduššího výpočtu po skupinách. U úloh s poměrem vozidel je vhodné vytvořit skupinu, která odpovídá zadanému poměru, spočítat počet kol v jedné skupině a potom zjistit počet takových skupin.
Základní údaje pro výpočet
| Vozidlo | Počet kol |
|---|---|
| Automobil | 4 |
| Motocykl | 2 |
Nejčastější chybou bývá opomenutí různého počtu pneumatik u jednotlivých dopravních prostředků nebo nesprávné sestavení rovnice. Vždy je potřeba zjistit, kolik kol připadá na jeden automobil, kolik kol připadá na jeden motocykl a jaký vztah mezi počty vozidel zadání uvádí.
Příklad s poměrem automobilů a motocyklů
V servisu kontrolovali za měsíc celkem 322 pneumatik. Automobilů bylo za tu dobu třikrát více než motocyklů. Máme určit, kolik automobilů a kolik motocyklů bylo v servisu.
Automobil má čtyři kola, u kterých kontrolovali čtyři pneumatiky, zatímco u jednoho motocyklu kontrolovali dvě pneumatiky. Proto musíme odlišit počet pneumatik jednotlivých vozidel.
Řešení pomocí skupin
Protože automobilů bylo třikrát více než motocyklů, vytvoříme skupinu tvořenou třemi automobily a jedním motocyklem.
| Vozidla v jedné skupině | Počet vozidel | Počet pneumatik |
|---|---|---|
| Automobily | 3 | 3 × 4 = 12 |
| Motocykly | 1 | 1 × 2 = 2 |
| Celkem | 4 | 14 |
Jedna taková skupina má celkem čtrnáct pneumatik. Počet skupin zjistíme vydělením celkového počtu pneumatik počtem pneumatik v jedné skupině:
322 : 14 = 23
V servisu tedy bylo 23 takových skupin. V každé skupině je jeden motocykl, takže počet motocyklů je 23. V každé skupině jsou také tři automobily, takže počet automobilů vypočítáme:
23 × 3 = 69
V servisu bylo 23 motocyklů a 69 automobilů. Kontrola výpočtu: 23 motocyklů má 23 × 2 = 46 kol a 69 automobilů má 69 × 4 = 276 kol; dohromady je 46 + 276 = 322 kol nebo pneumatik.
Obecný postup při řešení úloh s poměrem
- Určete, kolik kol nebo pneumatik má jeden automobil a jeden motocykl.
- Převeďte poměr vozidel na jednu společnou skupinu.
- Vypočítejte počet kol nebo pneumatik v jedné skupině.
- Vydělte celkový počet kol nebo pneumatik počtem kol nebo pneumatik v jedné skupině.
- Podle počtu vozidel ve skupině vypočítejte počet automobilů a motocyklů.
- Výsledek ověřte dosazením do původního zadání.
Pokud bylo automobilů například třikrát více než motocyklů, na jeden díl motocyklů připadaly tři díly automobilů. Jedna skupina tedy obsahuje jeden motocykl a tři automobily. Kdyby byly dvě motorky, muselo by být šest aut, a kdyby byly tři motorky, muselo by být devět aut.
Řešení pomocí lineární rovnice
Stejnou úlohu můžeme vyřešit také pomocí jedné lineární rovnice o jedné neznámé. Označme počet motocyklů proměnnou x. Automobilů je podle zadání třikrát více, tedy 3x.
Motocykly mají dohromady 2x kol. Automobily mají dohromady 4 · 3x kol, tedy 12x kol. Celkem je 322 pneumatik, proto sestavíme rovnici:
2x + 12x = 322
14x = 322
x = 23
Proměnná x představuje počet motocyklů, takže motocyklů bylo 23. Automobilů bylo třikrát více:
3 · 23 = 69
Výsledek je stejný jako při řešení pomocí skupin: v servisu bylo 23 motocyklů a 69 automobilů.
Příklad: 36 koleček a 10 volantů
Máme 36 koleček a 10 volantů. Kolik automobilů a motorek sestavíme?
Každý automobil potřebuje jeden volant a čtyři kolečka. Každý motocykl potřebuje jeden volant a dvě kolečka. Celkový počet volantů určuje celkový počet vozidel:
auta + motorky = 10
Celkový počet koleček vyjádříme rovnicí:
4 · auta + 2 · motorky = 36
Označme počet automobilů proměnnou x a počet motocyklů proměnnou y. Dostaneme soustavu rovnic:
x + y = 10
4x + 2y = 36
Z první rovnice vyjádříme počet motocyklů:
y = 10 − x
Tento výraz dosadíme do druhé rovnice:
4x + 2(10 − x) = 36
4x + 20 − 2x = 36
2x = 16
x = 8
Automobilů je 8. Počet motocyklů vypočítáme:
y = 10 − 8 = 2
Z 36 koleček a 10 volantů sestavíme 8 automobilů a 2 motocykly. Kontrola: 8 automobilů potřebuje 32 koleček a 2 motocykly potřebují 4 kolečka, celkem tedy 36 koleček; volantů je 8 + 2 = 10.
Příklad: 111 vozidel a 406 kol
Na parkovišti stojí 111 aut a motocyklů. Dohromady mají 406 kol. Kolik je aut a kolik motocyklů?
Označme počet automobilů proměnnou x a počet motocyklů proměnnou y. Počet všech vozidel je 111, proto platí:
x + y = 111
Automobily mají čtyři kola a motocykly dvě kola, takže pro celkový počet kol platí:
4x + 2y = 406
Z první rovnice vyjádříme počet motocyklů:
y = 111 − x
Dosadíme do druhé rovnice:
4x + 2(111 − x) = 406
4x + 222 − 2x = 406
2x = 184
x = 92
Automobilů je 92. Motocyklů je:
111 − 92 = 19
Na parkovišti stojí 92 automobilů a 19 motocyklů. Kontrola: 92 × 4 = 368 kol a 19 × 2 = 38 kol; dohromady 368 + 38 = 406 kol.
Rychlá metoda pomocí rozdílu kol
V některých úlohách lze využít skutečnost, že automobil má oproti motocyklu o dvě kola více. Pokud bychom všech 111 vozidel považovali za motocykly, měli bychom:
111 × 2 = 222 kol
Ve skutečnosti je kol 406, tedy o:
406 − 222 = 184 kol více
Každý automobil přidává oproti motocyklu dvě kola navíc. Počet automobilů proto získáme výpočtem:
184 : 2 = 92
Počet motocyklů potom je:
111 − 92 = 19
Tato metoda je rychlá, protože nejprve předpokládá, že všechna vozidla jsou motocykly, a potom podle přebývajících kol určí počet automobilů.
Příklad z parkoviště s poměrem
Na parkovišti stálo 9 osobních aut. Motorek bylo třikrát méně. Kolik stálo na parkovišti motorek a kolik kol měly celkem auta a motorky stojící na parkovišti?
Pokud bylo motocyklů třikrát méně než automobilů, počet motocyklů vypočítáme:
9 : 3 = 3
Na parkovišti tedy stála 3 motorky. Devět automobilů mělo:
9 × 4 = 36 kol
Tři motocykly měly:
3 × 2 = 6 kol
Celkový počet kol byl:
36 + 6 = 42
Na parkovišti stála 3 motocykly a všechna vozidla měla dohromady 42 kol.
Jak poznat správný postup
Nejprve si všimněte, co je v zadání známé. Někdy znáte celkový počet vozidel a celkový počet kol, jindy znáte počet jednoho druhu vozidel a poměr mezi vozidly. Podle toho zvolíte buď soustavu rovnic, nebo výpočet pomocí skupin.
U poměrových úloh je obvykle nejrychlejší vytvořit jednu skupinu. Jestliže je automobilů třikrát více než motocyklů, skupina se skládá ze tří automobilů a jednoho motocyklu. Jestliže je automobilů pětkrát více než motocyklů, skupina se skládá z pěti automobilů a jednoho motocyklu.
Potom je nutné správně spočítat počet kol v jedné skupině. U skupiny tří automobilů a jednoho motocyklu je počet kol:
3 × 4 + 1 × 2 = 14
Pokud celkový počet kol není dělitelný počtem kol v jedné skupině, je potřeba zkontrolovat, zda byl správně pochopen poměr, počet kol jednotlivých vozidel a celkový počet kol.
Nejčastější chyby
- Počítání automobilu i motocyklu jako vozidla se stejným počtem kol.
- Záměna formulace „třikrát více“ a „o tři více“.
- Zapomenutí, že počet vozidel a počet kol jsou dvě různé veličiny.
- Nesprávné přiřazení proměnných k automobilům a motocyklům.
- Neprovedení kontroly výsledku.
- Zaokrouhlení výsledku, přestože počet aut a motocyklů musí být celé číslo.
Je také potřeba dávat pozor na to, co se přesně počítá. V matematické úloze se obvykle předpokládá, že automobil má čtyři kola a motocykl dvě kola. Pokud zadání mluví o pneumatikách, počítáme pneumatiky podle stejného počtu, tedy čtyři pneumatiky u automobilu a dvě pneumatiky u motocyklu.
Kontrola výsledku
Výsledek ověříme dvěma způsoby. Nejprve zkontrolujeme počet všech vozidel nebo poměr mezi nimi. Potom ověříme celkový počet kol nebo pneumatik.
U příkladu s 322 pneumatikami platí:
- 23 motocyklů + 69 automobilů = 92 vozidel;
- 69 automobilů je třikrát více než 23 motocyklů;
- 69 × 4 = 276 pneumatik automobilů;
- 23 × 2 = 46 pneumatik motocyklů;
- 276 + 46 = 322 pneumatik.
Jestliže všechny podmínky souhlasí, je výsledek správný.
Vztah k podobným úlohám
Stejný matematický princip se používá také u úloh o slepicích a králících, kde se porovnává počet zvířat a počet jejich nohou. U automobilů a motocyklů se místo počtu nohou porovnává počet kol nebo pneumatik.
Podobně lze řešit i úlohy s tříkolkami a koloběžkami. Tříkolka má tři kolečka, koloběžka dvě kolečka, takže při známém celkovém počtu koleček a celkovém počtu sestavených dopravních prostředků vznikne stejný typ rovnice.
