Součet vektorů a skalární násobek: vektor je sečten s vektorem (nahoře). Vektorový prostor (též lineární prostor) je v matematice a fyzice množina prvků nazývaných vektory, na níž jsou definovány dvě základní operace: sčítání vektorů a násobení skalárem. Skaláry jsou prvky určitého tělesa - nejčastěji reálná nebo komplexní čísla. Pojem vektorového prostoru vznikl zobecněním vlastností vektorů v Euklidovském prostoru, tedy objektů, které mají velikost i směr. Strukturální vlastnosti vektorového prostoru jsou jednoznačně určeny jeho dimenzí a tělesem, nad kterým je definován.
Pokud je dimenze konečná, hovoří se o konečnědimenzionálním prostoru - tyto prostory se běžně vyskytují v geometrii a fyzice. Je-li dimenze nekonečná, jde o nekonečnědimenzionální prostor, který se objevuje například v matematické analýze. Typickými příklady jsou prostory polynomů nebo funkcí. Některé vektorové prostory jsou obohaceny o další struktury, které umožňují jejich hlubší studium a využití.
V tomto článku jsou vektory zapisovány tučně. Vektorový prostor nad tělesem je neprázdná množina spolu s binární operací a funkcí dvou proměnných, které splňují osm axiomatických podmínek uvedených níže. Distributivita skalárního násobku vůči operacím součtu a kompatibilita násobení skalárem jsou základními vlastnostmi, které umožňují práci s vektory různých velikostí a směrů.
Klíčové struktury a typy vektorových prostorů
Když je těleso skalárů reálná čísla, nazývá se vektorový prostor reálný vektorový prostor. Když je těleso skalárů komplexní čísla, nazývá se komplexní vektorový prostor. Tyto dva případy jsou nejběžnější, ale běžně se zvažují i vektorové prostory, jejichž skaláry patří do libovolného tělesa. Distributivita násobení skalárem vůči sčítání znamená, že násobení skalárem je endomorfismus skupiny.
Kromě aritmetických operací definovaných nad jednotlivými vektory a prvky tělesa lze uvažovat také obdobné operace nad celými množinami vektorů. Nechť je vektorový prostor a jsou neprázdné podmnožiny. Součet dvou podmnožin vektorového prostoru se nazývá direktní součet, právě když lze každý vektor z množiny vyjádřit ve tvaru jednoznačně, kde a . Pokud jsou a vektorové podprostory prostoru , platí, že je direktním součtem (tj. Lineárně nezávislá množina vektorů, která generuje celý prostor, se nazývá báze vektorového prostoru.)
Norma odvozená ze skalárního součinu je dána předpisem a je vždy nezáporná. kde je jednotkový vektor kolmý na vektory a a je úhel mezi nimi. Podmnožina je podprostor, pokud součet libovolných vektorů z a násobek libovolného vektoru z skalárem z patří do . Lineární obal množiny vektorů z prostoru je množina všech jejich lineárních kombinací. Podprostory a tvoří direktní součet , pokud lineární obal jejich sjednocení je a jejich průnik obsahuje pouze nulový vektor.
Nechť je podprostor a množina všech vektorů kolmých na všechny vektory . Množina tvoří podprostor a . Důkaz: Existence alespoň jednoho nulového vektoru je zajištěna axiomem vektorového prostoru. Pokud by existovaly dva různé nulové vektory a , tedy pak by platil to vede ke sporu. Důkaz: Existence vyplývá z axiomů. Pokud by k vektoru existovaly dva různé opačné vektory a , pak by platilo což je spor. Důkaz: Výraz splňuje danou rovnici. Pokud by existovala dvě různá řešení a taková, že , pak by přičtení zleva vedlo na , což je ekvivalentní vztahu .
V následujícím textu jsou uvedeny příklady nejčastěji používaných vektorových prostorů. V numerické matematice se nejčastěji uplatňují konečnědimenzionální vektorové prostory, které jsou definovány nad číselnými tělesy. Výhodou těchto prostorů je možnost snadno zavést bázi, díky níž lze každý vektor popsat pomocí jeho souřadnic. Při studiu libovolného konečněrozměrného prostoru je možné omezit se na studium prostoru n-tic čísel, jehož vlastnosti jsou přiblíženy v následujícím oddíle.
Pro těleso a přirozené číslo lze vzít za množinu vektorů kartézský součin , čili množinu uspořádaných n-tic prvků z tělesa. Na této množině jsou definovány operace sčítání a násobení skalárem po složkách. Množina všech uspořádaných -tic s tělesem a s výše definovanými operacemi sčítání a skalárních násobků tvoří vektorový prostor, nazývaný aritmetický vektorový prostor dimenze nad tělesem (též -rozměrný aritmetický vektorový prostor nad tělesem ). Jeho prvky se nazývají aritmetické vektory. Vzhledem k častému používání tohoto typu vektorů se obvykle přívlastek aritmetický vynechává a hovoří se pouze o vektorech.
Lze se setkat i s pojmenováním vektorový prostor s přirozeně definovanými aritmetickými operacemi. Často se za těleso volí množina reálných nebo komplexních čísel, čímž vznikají prostory a . Prostor uspořádaných -tic má dimenzi rovnou , protože jednotlivé složky obecného n-složkového aritmetického vektoru jsou navzájem nezávislé. Uvedené objekty se nazývají matice typu a spolu operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří vektorový prostor značený obvykle . Uspořádání složek do obdélníku nemění základní charakter těchto objektů; stále se s nimi zachází jako s aritmetickými vektory. Rozdíl nastává pouze tehdy, pokud jsou zavedeny další operace, například vzájemné násobení matic.
Ve studiu vektorových prostorů je důležitým objektem pojem lineárního operátoru. Uvažuje se vektorový prostor a zobrazení , které přiřazuje každému vektoru z jiný vektor z . Kde . Lineární operátory představují speciální případ obecnějšího konceptu lineárního zobrazení, kdy zobrazení převádí vektory z jednoho vektorového prostoru do jiného vektorového prostoru a zároveň zachovává aditivitu a homogenitu. Dimenze prostoru lineárních operátorů závisí na dimenzi prostoru . Kde jsou souřadnice vektoru. Celkem tedy lineární operátor určuje koeficientů , které plně charakterizují jeho působení. Z toho plyne, že dimenze prostoru je .
Posloupnosti představují přirozené zobecnění aritmetických vektorů na nekonečnědimenzionální prostor. Místo uspořádaných -tic se nyní uvažují posloupnosti prvků z tělesa, které obsahují nekonečně mnoho složek. Zvláštní zájem je o posloupnosti konvergentní. Aby množina konvergentních posloupností tvořila vektorový prostor, je nutné ověřit uzavřenost vůči sčítání a násobení skalárem. Množina reálných konvergentních posloupností je tedy uzavřená vůči sčítání a násobení skalárem. Tato množina tvoří podprostor vektorového prostoru všech posloupností reálných čísel. Ačkoli jsou konvergentní posloupnosti na jednotlivé prvky omezovány podmínkou konvergence, má prostor všech konvergentních posloupností nekonečnou dimenzi.
Praktické typy vektorových prostorů a jejich vlastnosti
Prostor polynomů tvoří množina všech polynomů jedné reálné proměnné s koeficienty z tělesa (obvykle reálná nebo komplexní čísla). Prostor všech polynomů je nekonečnědimenzionální a obvykle se značí P. V rámci tohoto prostoru lze identifikovat podprostor konečnědimenzionální. Konkrétně jde o množinu všech polynomů, jejichž stupeň je menší nebo roven zadanému přirozenému číslu n. Tento konečnědimenzionální vektorový prostor se pak značí P_n. Obsahuje i nulový polynom, jehož stupeň se obvykle nedefinuje. Každý polynom stupně n je jednoznačně určen koeficienty - koeficientem u každé mocniny proměnné od 0 do n.
Prostor spojitých funkcí tvoří množina všech spojitých reálných funkcí jedné reálné proměnné braná nad tělesem reálných čísel. Součet dvou spojitých funkcí je opět spojitá funkce a násobek spojité funkce reálným číslem zachovává spojitost. Jinými slovy, množina všech spojitých funkcí je proto uzavřená vůči sčítání a násobení skalárem.
Především ve funkcionální analýze se uvažují vektorové prostory s dodatečnou strukturou, např. Nechť je vektorový prostor nad číselným tělesem F. Pro účely měření „délky“ vektorů je v matematice užitečné zavést tzv. normu, což je zobrazení, které přiřazuje každému vektoru jedno nezáporné reálné číslo. Definitnost: náplň vzorce. Homogenita: náplň vzorce. Normované prostory poskytují rámec pro zavedení vzdálenosti, konvergence a dalších analytických vlastností vektorů. Typickými příklady jsou prostory s různými normami, například eukleidovská norma, maxnorma nebo taxicab-norma.
Unitární prostor (též „prostor se skalárním součinem“) je takový vektorový prostor, na němž je navíc definována funkce přiřazující dvěma vektorům skalár a splňující několik axiomů, díky kterým připomíná skalární součin z běžných prostorů konečné dimenze. Každý unitární prostor je zároveň normovaným prostorem, tj. Unitární prostory (zejména různé Hilbertovy prostory) pak připomínají běžný prostor mnohem více, než jiné vektorové prostory. Např. v nich platí Cauchyho-Schwarzova nerovnost a trojúhelníková nerovnost, a proto na ně lze z běžných prostorů přenést např. Dva nenulové vektory, jejichž skalární součin je nulový se nazývají ortogonální, což umožňuje na unitární (a zejména Hilbertovy) prostory zobecnit různé postupy.
Topologický vektorový prostor je matematická struktura, která spojuje vlastnosti vektorového prostoru a topologického prostoru. Podmínka Hausdorffovosti zajišťuje, že pro libovolné dva vektory existují jejich okolí bez společných bodů, tedy že prostor umožňuje jednoznačně rozlišovat různé vektory. Vektorový prostor vznikl abstrakcí dosud známých matematických objektů, jako byly matice, soustavy lineárních rovnic nebo vektory ve fyzice. Podobně jako u samotné lineární algebry lze jeho vznik klást do konce 19. a počátku 20. století.
Slovo „vektor“ pochází z latinského vector, znamenajícího nosič. Vektorové prostory vycházejí z afinní geometrie prostřednictvím zavedení souřadnic v rovině nebo trojrozměrném prostoru. Roku 1857 zavedl Arthur Cayley maticový zápis, který poskytuje jednoduchý popis lineárních zobrazení. Přibližně ve stejné době Hermann Grassmann studoval barycentrický počet zavedený Augustem Möbiem již roku 1827. Grassmann si představoval množiny abstraktních objektů doplněné o operace. Ve svém díle Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik z roku 1844 zavedl pojmy lineární nezávislost, dimenze i skalární součin. Navíc dokázal tvrzení, která nyní známe pod názvy Steinitzova věta, věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů, nezávislost dimenze na volbě báze, vzorec pro transformaci souřadnic při přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru a jiné.
Axiomatickou definici vektorového prostoru pak jako první podává Giuseppe Peano ve svém díle Calcolo geometrico secundo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, precedutto dalle operazioni della logica deduttiva z roku 1888. Peanova axiomatizace umožnila existenci vektorových prostorů nekonečné dimenze, avšak Peano tuto teorii dále nerozvíjel. Vektorový prostor v dnešní podobě je poprvé definován v Banachově dizertační práci z roku 1920 a v moderních učebnicích se tento pojem poprvé objevuje v učebnici Modern Algebra od Bartela van der Waerdena z roku 1930. Důležitý pokrok ve vývoji teorie vektorových prostorů představuje Lebesgueova konstrukce funkčních prostorů.
tags: #nosic #vektoroveho #prostoru