Úhlová rychlost popisuje, jak rychle se kolo otáčí kolem své osy, zatímco obvodová rychlost je rychlost bodu na obvodu kola. Při stejné rychlosti cyklisty je obvodová rychlost kola stejná bez ohledu na jeho průměr, ale větší kolo se otáčí pomaleji a menší kolo se otočí vícekrát za stejný čas.
Pro úhlovou rychlost platí vztah \(\omega=2\pi f\), kde \(\omega\) je úhlová rychlost, \(f\) frekvence otáčení a \(\pi\) přibližně \(3{,}14\). Mezi obvodovou a úhlovou rychlostí platí vztah \(\omega=v/r\), tedy \(v=\omega r\).
Co znamená úhlová rychlost kola
Úhlová rychlost vyjadřuje změnu úhlu otočení za jednotku času. Úhlovou rychlost můžeš změřit tak, že si vezmeš značku na ráfku (doporučuji ventilek, dobře se hledá) a měříš, o jaký úhel se kolo pootočí za jednotku času.
Kdyby se kolo otočilo 1x za sekundu, tedy o 360°, což je \(2\pi\) radiánů, byla by úhlová rychlost \(2\pi\) rad/s = 6,28 rad/s. Úhlová rychlost má jednotku rad/s (radiánů za sekundu).
Frekvence udává počet úplných otočení za sekundu. Platí \(f=5\,\mathrm{Hz}=5\) ot/s, pokud se kolo otočí pětkrát za sekundu.
Vztah mezi frekvencí a úhlovou rychlostí
Jestliže se kolo rovnoměrně otáčí s frekvencí 5 Hz, dosadíme do vztahu pro úhlovou rychlost:
\[\omega=2\pi f\]
\[\omega=2\pi\cdot5=10\pi\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\dot=31{,}4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}.\]
Úhlová rychlost kola je tedy přibližně \(31{,}4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\). Perioda otáčení je převrácená hodnota frekvence:
\[T=\frac{1}{f}=\frac{1}{5}\,\mathrm{s}=0{,}2\,\mathrm{s}.\]
Kolo se tedy otočí jednou za \(0{,}2\) sekundy.
Obvodová rychlost bodu na ráfku
Obvodová rychlost je rychlost bodu na obvodu kola a lze ji určit ještě druhým způsobem (třeba pro kontrolu):
\[v=\frac{s}{t}=\frac{2\pi r}{T}.\]
Pro kolo s poloměrem \(r=0{,}4\,\mathrm{m}\) a frekvencí \(f=5\,\mathrm{Hz}\) je obvodová rychlost:
\[v=\omega r=31{,}4\cdot0{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\dot=12{,}56\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]
Stejný výsledek získáme přes obvod kola a periodu:
\[v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot0{,}4}{0{,}2}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\dot=12{,}56\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]
Pro dané kolo je tedy obvodová rychlost bodu na ráfku přibližně \(12{,}56\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\).
Rozdíl mezi úhlovou a obvodovou rychlostí
Při stejné translační rychlosti je obvodová rychlost kola stále stejná a nějaké síly do toho vůbec nepleť. To, co se mění, není obvodová, ale úhlová rychlost.
Pokud se mají dvě různě velká kola odvalovat stejnou rychlostí, tak ta obvodová rychlost musí být totožná u obou kol. Hmotný bod na ráfku kola musí urazit stejnou dráhu za stejný čas nezávisle na průměru kola, pokud to kolo jede stejně rychle, tedy pohybuje se stejnou rychlostí.
To, co se mění, je úhlová rychlost. Menší kola se otočí víckrát. Při větším průměru kola se kolo pootočí za stejný čas o menší úhel.
Matematicky to vyplývá ze vztahu:
\[\omega=\frac{v}{r}.\]
Při stejné obvodové rychlosti \(v\) tedy úhlová rychlost \(\omega\) klesá, když roste poloměr \(r\). Menší kolo má při stejné rychlosti cyklisty větší úhlovou rychlost než větší kolo.
Odvalování kola bez prokluzu
Obvodová rychlost spočítáš poměrně jednoduše. Vezmeš vzdálenost, na kterou se kola odvalí, a podělíš ji časem, který k tomu spotřebují.
Pokud se kolo odvaluje bez prokluzu, bod kola v místě dotyku se silnicí má vzhledem k silnici v daném okamžiku nulovou rychlost. Horní část kola se však vzhledem k silnici pohybuje rychleji než střed kola, protože se k posuvné rychlosti přičítá rychlost způsobená otáčením.
Rychlost cyklisty a rychlost středu kola jsou při rovnoměrném odvalování stejné. Pro otáčení kola přitom platí, že za jednu úplnou otáčku urazí kolo vzdálenost rovnou svému obvodu \(2\pi r\).
Úhlové zrychlení kola
Kolo o \(r=0{,}4\,\mathrm{m}\) se rovnoměrně otáčí s frekvencí \(5\,\mathrm{Hz}\). Úhlová rychlost je \(\omega=2\pi f\) a úhlové zrychlení je nulové, protože jde o rovnoměrný pohyb po kružnici.
Rovnoměrné otáčení znamená, že se nemění velikost úhlové rychlosti. Proto je úhlové zrychlení:
\[\alpha=0\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}.\]
Mohlo by se zdát, že i zrychlení je nulové, ale není tomu tak. Sice nedochází ke změně velikosti rychlosti, avšak rychlost je vektor a při otáčení bodu na obvodu kola se neustále mění směr rychlosti.
Dostředivé zrychlení bodu na obvodu
Vektor zrychlení směřuje do středu kružnice a proto se mu říká dostředivé zrychlení (též normálové). Pro velikost dostředivého zrychlení platí:
\[a_\mathrm{d}=\omega^2r.\]
Pro \(\omega=31{,}4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\) a \(r=0{,}4\,\mathrm{m}\) dostaneme:
\[a_\mathrm{d}=31{,}4^2\cdot0{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\dot=394\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]
Dostředivé zrychlení bodu na obvodu kola je tedy přibližně \(394\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), přestože úhlové zrychlení kola je nulové.
Průměrná rychlost cyklisty při jízdě do kopce a z kopce
Úhlová rychlost kola nesmí být zaměňována s průměrnou rychlostí cyklisty. Průměrná rychlost celé jízdy se určuje jako podíl celkové uražené dráhy a celkové doby pohybu.
Označíme \(s\) dráhu uraženou jedním směrem, pro cyklistu Adama \(t_1\) dobu jízdy nahoru, \(t_2\) dobu jízdy dolů a \(t\) celkovou dobu jízdy.
Pro průměrnou rychlost platí:
\[v_\mathrm{p}=\frac{s_\mathrm{c}}{t_\mathrm{c}},\]
kde \(s_\mathrm{c}\) je celková uražená dráha a \(t_\mathrm{c}\) celková doba pohybu. Protože cyklista jede stejnou dráhu nahoru i dolů, je celková dráha \(2s\), a tedy:
\[v_\mathrm{p}=\frac{2s}{t_1+t_2}.\]
Pro jízdu nahoru platí:
\[s=v_1t_1,\qquadt_1=\frac{s}{v_1}.\]
Pro jízdu dolů platí:
\[s=v_2t_2,\qquadt_2=\frac{s}{v_2}.\]
Dosadíme do vztahu pro průměrnou rychlost:
\[v_\mathrm{p}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.\]
Pro \(v_1=16\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\) a \(v_2=44\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\) získáme:
\[v_\mathrm{p}=\frac{2\cdot16\cdot44}{16+44}\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\dot=23{,}5\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]
Průměrná rychlost celé jízdy Adama je tedy \(23{,}5\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\). Nejde o aritmetický průměr rychlostí \(16\) a \(44\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\), protože Adam stráví při pomalejší jízdě do kopce více času.
Výpočet rychlosti Bedřicha z kopce
Pro cyklistu Bedřicha označíme analogicky \(t_1'\) dobu jízdy nahoru, \(t_2'\) dobu jízdy dolů a \(t'\) celkovou dobu jízdy.
Pro jízdu dolů platí:
\[s=v_2't_2',\]
\[t_2'=t'-t_1'.\]
Odtud:
\[v_2'=\frac{s}{t'-t_1'}.\]
Pro jízdu nahoru platí:
\[s=v_1't_1',\qquadt_1'=\frac{s}{v_1'}.\]
Pro průměrnou rychlost celé jízdy Bedřicha platí:
\[v_\mathrm{p}'=\frac{2s}{t'},\qquadt'=\frac{2s}{v_\mathrm{p}'}.\]
Dosadíme do vztahu pro rychlost jízdy z kopce:
\[v_2'=\frac{s}{\frac{2s}{v_\mathrm{p}'}-\frac{s}{v_1'}}=\frac{v_1'v_\mathrm{p}'}{2v_1'-v_\mathrm{p}'}.\]
Pro \(v_1'=15\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\) a \(v_\mathrm{p}'=23\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\) dostaneme:
\[v_2'=\frac{15\cdot23}{2\cdot15-23}\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\dot=49{,}3\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]
Průměrná rychlost jízdy Bedřicha z kopce je tedy přibližně \(49{,}3\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\).
Poměr doby jízdy do kopce a z kopce
Dobu jízdy cyklisty Adama do kopce a z kopce lze porovnat pomocí vztahů \(t_1=s/v_1\) a \(t_2=s/v_2\). Pro cyklistu Adama platí:
\[\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{s}{v_1}}{\frac{s}{v_2}}=\frac{v_2}{v_1}.\]
Číselně:
\[\frac{t_1}{t_2}=\frac{44}{16}\dot=2{,}8.\]
Adam tedy stráví jízdou do kopce přibližně \(2{,}8\)-krát více času než jízdou z kopce.
Analogicky pro cyklistu Bedřicha platí:
\[\frac{t_1'}{t_2'}=\frac{v_2'}{v_1'}.\]
Dosazením výsledku pro \(v_2'\) dostaneme:
\[\frac{t_1'}{t_2'}=\frac{v_\mathrm{p}'}{2v_1'-v_\mathrm{p}'}.\]
Číselně:
\[\frac{t_1'}{t_2'}=\frac{23}{2\cdot15-23}\dot=3{,}3.\]
Bedřich tedy stráví jízdou do kopce přibližně \(3{,}3\)-krát více času než jízdou z kopce.
| Veličina | Výsledek |
|---|---|
| Průměrná rychlost celé jízdy Adama | \(v_\mathrm{p}\dot=23{,}5\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\) |
| Průměrná rychlost Bedřicha z kopce | \(v_2'\dot=49{,}3\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\) |
| Poměr doby jízdy Adama do kopce a z kopce | \(t_1/t_2\dot=2{,}8\) |
| Poměr doby jízdy Bedřicha do kopce a z kopce | \(t_1'/t_2'\dot=3{,}3\) |
Rychlost cyklisty, síla a výkon
Pro zjednodušení si představíme cyklistu s kolem jako jedno těleso. Výsledná síla působící na cyklistu s kolem musí být při rovnoměrném přímočarém pohybu rovna nule:
\[\vec{F}_\mathrm{g}+\vec{N}+\vec{F}_\mathrm{odp}+\vec{F}=\vec{0}.\]
Tíhová síla, kterou na cyklistu s kolem působí Země, se vyruší se silou, kterou do kola tlačí silnice:
\[F_\mathrm{g}-N=0.\]
Síla, kterou do kola strká silnice, musí být rovna odporové síle:
\[F=F_\mathrm{odp}=kv^2.\]
Pro \(k=0{,}3\,\mathrm{kg\cdot m^{-1}}\) a rychlost \(v=27\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}=7{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) vychází:
\[F=kv^2=0{,}3\cdot7{,}5^2\,\mathrm{N}\dot=16{,}9\,\mathrm{N}.\]
Výkon souvisí se silou a rychlostí vztahem:
\[P=Fv.\]
Protože \(F=kv^2\), platí také:
\[P=kv^3.\]
Pro výkon \(P=600\,\mathrm{W}\) a \(k=0{,}3\,\mathrm{kg\cdot m^{-1}}\) vyjádříme rychlost:
\[v^3=\frac{P}{k},\qquadv=\sqrt[3]{\frac{P}{k}}.\]
\[v=\sqrt[3]{\frac{600}{0{,}3}}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\dot=12{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\dot=45{,}4\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]
Při modelu, v němž odporová síla roste s druhou mocninou rychlosti, se při větší rychlosti zvětší odporová síla, práce i potřebný výkon.
Fyzika MIT: Rotující kolo a zákon zachování momentu hybnosti
Rozlišení hlavních veličin
- Úhlová rychlost \(\omega\) udává, jak rychle se mění úhel otočení kola, a její jednotkou je \(\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\).
- Frekvence \(f\) udává počet otáček za sekundu a její jednotkou je hertz, \(\mathrm{Hz}\).
- Perioda \(T\) udává dobu jedné otáčky a platí \(T=1/f\).
- Obvodová rychlost \(v\) je rychlost bodu na obvodu kola a platí \(v=\omega r\).
- Úhlové zrychlení \(\alpha\) popisuje změnu úhlové rychlosti; při rovnoměrném otáčení je \(\alpha=0\).
- Dostředivé zrychlení \(a_\mathrm{d}\) vzniká i při konstantní velikosti rychlosti, protože se při pohybu po kružnici mění směr rychlosti.
- Průměrná rychlost cyklisty je podíl celkové uražené dráhy a celkové doby jízdy.